Un matemático de la USC de Santiago y otro de Lausana encuentran nuevas geometrías de Einstein
Dos investigadores acaban de construir las primeras ‘geometrías de Einstein’ no homogéneas sobre uno de los espacios más fundamentales de las matemáticas, los espacios proyectivos complejos. Con esto responden afirmativamente en las dimensiones n = 4 y n = 6 una pregunta que el geómetra francés Marcel Berger formuló en 1965 y que se había resistido durante seis décadas. El trabajo, titulado 'Inhomogeneous Einstein metrics on complex projective spaces’, lo firman Alberto Rodríguez Vázquez, de la USC, y Gonzalo Cao Labora, de la École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL). Ambos investigadores están vinculados al Centro de Investigación y Tecnología Matemática de Galicia (CITMAga).
En matemáticas, un mismo espacio admite muchas geometrías o métricas distintas, es decir, muchas maneras distintas de medir distancias y ángulos. Entre todas ellas destacan las llamadas métricas de Einstein. Estas son especialmente relevantes porque la teoría de la relatividad general de Einstein dicta que el espacio-tiempo de nuestro universo debe poseer una métrica de Einstein.
El espacio proyectivo complejo ℂℙ𝑛 es un espacio central en la geometría, con aplicaciones actuales que llegan a la computación cuántica. Sobre él se conocía desde hace un siglo una geometría de Einstein homogénea, la llamada métrica de Fubini–Study. En 1965, Berger dejó abierta una pregunta natural: ¿existen otras geometrías de Einstein en ℂℙ𝑛, espacios proyectivos complejos? En las dimensiones «impares», Wolfgang Ziller encontró una segunda geometría en los años ochenta, pero las dimensiones «pares» se resistieron por completo: allí, Fubini–Study seguía siendo, hasta hoy, la única respuesta conocida.
La respuesta
Cao Labora y Rodríguez Vázquez demuestran que existen nuevas geometrías de Einstein sobre ℂℙ𝑛 para dimensiones n entre 3 y 7. A diferencia de las conocidas, las nuevas son no homogéneas. Esto quiere decir que, pese a satisfacer las ecuaciones de Einstein, no se comportan igual en todos los puntos del espacio. «A grandes rasgos, mantienen una diferencia similar a la que existe entre un huevo y una esfera perfecta», explican los investigadores. Y, sobre todo, dan la primera respuesta afirmativa a Berger en las dimensiones pares n = 4 y n = 6, donde no se conocía ninguna métrica de Einstein desde los trabajos de Fubini y Study en 1904 y 1905.
Las ecuaciones de Einstein son unas ecuaciones en derivadas parciales (EDP) muy complicadas. «Por esta razón el problema permaneció abierto durante tanto tiempo», señalan. Los autores utilizaron una simetría muy grande del espacio para reducir esta ecuación a una más sencilla y, finalmente, a comprobar que dos piezas, construidas desde dos extremos del espacio, encajan como un rompecabezas exactamente en el centro. Ese encaje final se certifica con la ayuda del ordenador, pero no mediante una simulación que sugiera una solución: se emplea una computación validada que demuestra su existencia con el rigor que requiere una prueba matemática. El cuidado es pertinente porque un ordenador solo almacena una cantidad finita de números y, al redondear los decimales, comete un pequeño error en cada operación. En vez de ignorarlo, este método lo arrastra: en cada paso maneja un intervalo que contiene con garantía el valor exacto, y si el intervalo final es lo bastante estrecho, la conclusión queda demostrada sin margen de duda.
Un ejemplo de cómo cambian las matemáticas
La investigación matemática combina cada vez más ideas abstractas con herramientas computacionales rigurosas. Por otra parte, señalan, «en los últimos meses se ha producido un auge sin precedentes de demostraciones asistidas por inteligencia artificial». Este fenómeno está transformando «profundamente» la práctica matemática. Así, los avances matemáticos realizados por inteligencia artificial fueron «el elefante en la habitación en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado hace menos de un mes en Filadelfia». Los investigadores se refieren al congreso «por excelencia» en las matemáticas, con más de 100 años de historia.
Cada vez la comunidad matemática, explican, está más convencida de que se está abriendo paso «una era completamente nueva en la disciplina». Y hay «mucho en juego», destacan, porque las matemáticas no son un campo aislado: «son el lenguaje sobre el que se asientan la ciencia y la tecnología». Un resultado abstracto de hoy puede convertirse, décadas más tarde, en tecnología cotidiana: el GPS funciona gracias a la geometría diferencial y a la relatividad general; la compresión de audio e imagen en MP3 y JPEG descansa sobre el análisis de Fourier (análisis armónico); la seguridad de las transferencias bancarias se apoya en la teoría de números y las curvas elípticas (criptografía de clave pública); y la reconstrucción de imágenes médicas como el TAC se basa en la transformada de Radon (geometría integral).
Los autores señalan que «estamos entrando en una época en la que la computación, y ahora la inteligencia artificial, pueden ampliar mucho lo que los matemáticos y matemáticas son capaces de explorar», aunque advierten de una distinción esencial: «detectar un patrón o sugerir una respuesta no es lo mismo que demostrarla». Formular los problemas, entender las estructuras y separar la evidencia de la prueba sigue siendo, por ahora, un trabajo humano. En este sentido defienden también que si las matemáticas van a ser aún más importantes en la era de la inteligencia artificial, «la sociedad necesitará más inversión en matemáticas y en la formación de nuevo personal investigador». Es en ese esfuerzo colectivo donde se enmarca el trabajo del CITMAga, que canaliza hoy una sólida tradición de geometría diferencial en Santiago de Compostela, entorno que contribuyó de forma notable a este resultado.