Un matemático da USC de Santiago e outero de Lausana atopan novas xeometrías de Einstein
Dous investigadores acaban de construír as primeiras ‘xeometrías de Einstein’ non homoxéneas sobre un dos espazos máis fundamentais das matemáticas, os espazos proxectivos complexos. Con isto responden afirmativamente nas dimensións n = 4 e n = 6 unha pregunta que o xeómetra francés Marcel Berger formulou en 1965 e que se resistira durante seis décadas. O traballo, titulado 'Inhomogeneous Einstein metrics on complex projective spaces’, asínano Alberto Rodríguez Vázquez da USC e Gonzalo Cao Labora da École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL). Ambos os investigadores están vinculados ao Centro de Investigación e Tecnoloxía Matemática de Galicia (CITMAga).
En matemáticas, un mesmo espazo admite moitas xeometrías ou métricas distintas, é dicir, moitas maneiras distintas de medir distancias e ángulos. Entre todas elas destacan as chamadas métricas de Einstein. Estas son especialmente relevantes porque a teoría da relatividade xeral de Einstein dita que o espazo-tempo do noso universo debe posuír unha métrica de Einstein.
O espazo proxectivo complexo ℂℙ𝑛 é un espazo central na xeometría, con aplicacións actuais que chegan á computación cuántica. Sobre el coñecíase desde hai un século unha xeometría de Einstein homoxénea, a chamada métrica de Fubini–Study. En 1965, Berger deixou aberta unha pregunta natural: existen outras xeometrías de Einstein en ℂℙ𝑛 espazos proxectivos complexos? Nas dimensións «impares», Wolfgang Ziller atopou unha segunda xeometría nos anos oitenta, pero as dimensións «pares» resistíronse por completo: alí, Fubini–Study seguía sendo, ata hoxe, a única resposta coñecida.
A resposta
Cao Labora e Rodríguez Vázquez demostran que existen novas xeometrías de Einstein sobre ℂℙ𝑛 para dimensións n entre 3 e 7. A diferenza das coñecidas, as novas son non homoxéneas. Isto quere dicir que, malia satisfaceren as ecuacións de Einstein, non se comportan igual en todos os puntos do espazo. “A grandes trazos, manteñen unha diferenza similar á que existe entre un ovo e unha esfera perfecta”, explican os investigadores. E, sobre todo, dan a primeira resposta afirmativa a Berger nas dimensións pares n = 4 e n = 6, onde non se coñecía ningunha métrica de Einstein desde os traballos de Fubini e Study en 1904 e 1905.
As ecuacións de Einstein son unhas ecuacións en derivadas parciais (EDPs) moi complicadas. “Por esta razón o problema permaneceu aberto durante tanto tempo”, sinalan. Os autores utilizaron unha simetría moi grande do espazo para reducir esta ecuación a unha máis sinxela e, finalmente, a comprobar que dúas pezas, construídas desde dous extremos do espazo, encaixan como un quebracabezas exactamente no centro. Ese encaixe final certifícase coa axuda do ordenador, pero non mediante unha simulación que suxira unha solución: emprégase unha computación validada que demostra a súa existencia co rigor que require unha proba matemática. O coidado é pertinente porque un ordenador só almacena unha cantidade finita de números e, ao redondear os decimais, comete un pequeno erro en cada operación. En vez de ignoralo, este método arrástrao: en cada paso manexa un intervalo que contén con garantía o valor exacto, e se o intervalo final é o bastante estreito, a conclusión queda demostrada sen marxe de dúbida.
Un exemplo de como cambian as matemáticas
A investigación matemática combina cada vez máis ideas abstractas con ferramentas computacionais rigorosas. Por outra banda, sinalan, “nos últimos meses produciuse un auxe sen precedentes de demostracións asistidas por intelixencia artificial”. Este fenómeno está a transformar “profundamente” a práctica matemática. Así, os avances matemáticos feitos por intelixencia artificial foron “o elefante na habitación no Congreso Internacional de Matemáticas celebrado hai menos dun mes en Filadelfia”. Os investigadores refírense ao congreso “por excelencia” nas matemáticas, con máis de 100 anos de historia.
Cada vez a comunidade matemática, explican, está máis convencida de que se está a abrir paso “unha era completamente nova na disciplina”. E hai “moito en xogo”, destacan, porque as matemáticas non son un campo illado: “son a linguaxe sobre a que se asentan a ciencia e a tecnoloxía”. Un resultado abstracto de hoxe pode converterse, décadas máis tarde, en tecnoloxía cotiá: o GPS funciona grazas á xeometría diferencial e á relatividade xeral; a compresión de audio e imaxe en MP3 e JPEG descansa sobre a análise de Fourier (análise harmónica); a seguranza das transferencias bancarias apóiase na teoría de números e as curvas elípticas (criptografía de clave pública); e a reconstrución de imaxes médicas como o TAC baséase na transformada de Radon (xeometría integral).
Os autores sinalan que “estamos a entrar nunha época na que a computación, e agora a intelixencia artificial, poden ampliar moito o que os matemáticos e matemáticas son capaces de explorar”, aínda que advirten dunha distinción esencial: “detectar un patrón ou suxerir unha resposta non é o mesmo que demostrala”. Formular os problemas, entender as estruturas e separar a evidencia da proba segue a ser, por agora, un traballo humano. Neste senso defenden tamén que se as matemáticas van ser aínda máis importantes na era da intelixencia artificial, “a sociedade precisará máis investimento en matemáticas e na formación de novo persoal investigador”. É nese esforzo colectivo onde se enmarca o traballo do CITMAga que canaliza hoxe unha sólida tradición de xeometría diferencial en Santiago de Compostela, contorna que contribuíu de forma notable a este resultado.